非ユークリッド幾何の世界 新装版 (ブルーバックス)

本書は、付録を除いて、下記のような3部構成になっています。プラトンの対話篇のように、先生役の「老生」と生徒役の「A君」が対話を重ねながら、非ユークリッド幾何学の世界へと入っていきます。- 第1部 ユークリッド幾何から非ユークリッド幾何へ- 第2部 非ユークリッド幾何の発見- 第3部 非ユークリッド幾何のモデル第1部では、ユークリッド幾何学から出発し、やや長ったらしい公準5については、「直線上にない点を通って、その直線と平行な直線はただ1つである」と言い換えてもよいことを確認します。平行線の問題を突き詰めると、非ユークリッド幾何の理解に通じる道は、遠近法で現れる焦点の問題や、地球という球体上の直線の性質など、意外に身近なところに潜んでいるかもしれないという話になります。老生とA君の対話篇として見た場合、第1部は非常に知的興奮に満ちています。第2部以降では、A君はほぼ聞き役に回ります。第2部では、非ユークリッド幾何の発見に貢献してきた数学者たちについて語られます。ボヤイ・ヤーノシュとロバチェフスキーは、それぞれ独立に、曲率がマイナスの空間における幾何学について発表します。ところが、当時数学界の大御所であり、2人の論文を理解できる唯一の数学者であったガウスが、自らも新しい幾何学の可能性についてとっくに気が付いていたにもかかわらず、両人の論文に対して沈黙を守ったため、3人の死後に至るまで、非ユークリッド幾何学が日の目を見ることはありませんでした。ボヤイ・ヤーノシュの悲劇的な人生が印象的です。第3部では、半球面上に、非ユークリッド幾何学のモデルを作成します。第3部の後半で明かされているように、この半球面のモデルは、円の中に作られるクラインのモデルと深い関係があります。この半球を地球の北半球とみなしたとき、北半球上の図形を赤道面へ正射影すれば、クラインのモデルになります。このようなモデル上であれば、公準5について、直線外の点から、この直線に対して、1本ではなく、2本の平行線が引けることを、いとも簡単に確認することができます。本書の魅力は、非ユークリッド幾何学へのアプローチの仕方にあります。ある思考の体系に「なじむ」には、必ずしも厳密な公理主義的方法が有効であるとは限りません。例えば、子どもが自然数を学ぶにあたって、厳密だからと言って、いきなりペアノの公理を持ち出すのはナンセンスです。論理的な筋道と、発見への思考の軌跡は別のものであり、本書で重んじられているのは後者です。実際、非ユークリッド幾何学について、もっぱら論理的に語ろうとするのであれば、第3部さえあれば十分であり、第2部以前は不要です。本書は、数学を専門に学んだことのある者だけではなく、むしろ数学が好きでさえあれば、高校生ぐらいあっても読むに値する書物です。もしかしたら、第3部あたりは、技術的な操作が主となるために、全てを理解するというわけにもいかないかもしれません。それでも何か物語でも読むように、議論の輪郭だけでもつかんでおき、いつかまたさらに勉強を重ねた時にでも本書に帰ってくれば、きっと新たに得られるものがあるでしょう。